Matemática recreativa · Desenhos combinatórios
Caderno do Apostador
Catálogo impresso de um recobrimento sobre 25 símbolos
Oitocentos e quarenta blocos de dezoito números, escolhidos de 1 a 25 e impressos em vinte e quatro páginas. A família foi construída para ter uma propriedade de cobertura, e essa propriedade foi verificada caso a caso — nos 3.268.760 arranjos que podem existir, sem amostragem.
O que está impresso
Uma tabela, e a razão de ela ser essa tabela
Tome o conjunto dos números de 1 a 25. Dele saem 3.268.760 maneiras diferentes de escolher quinze. O caderno traz 840 blocos de dezoito números com esta propriedade: qualquer uma daquelas 3.268.760 escolhas coincide em pelo menos catorze números com algum bloco do catálogo.
Não existe escolha de quinze que escape. Isso não é uma estimativa nem o resultado de uma simulação: o catálogo foi confrontado com cada um dos 3.268.760 casos, um por um.
As páginas são a tabela. Cada página traz 35 blocos, numerados de 01 a 35, e o caderno tem 24 páginas de tabela. Um bloco é localizado por página e linha — pág 07, linha 22 — do mesmo modo que uma entrada é localizada numa tábua de logaritmos.
Um bloco, na geometria de 5 × 5
O primeiro bloco do catálogo ocupa dezoito das vinte e cinco casas. Os sete números de fora são o que define o bloco tanto quanto os dezoito de dentro: é a posição relativa desses complementos entre os 840 blocos que produz a cobertura.
O enunciado
A propriedade, dita com precisão
Em linguagem de desenhos combinatórios, o que o caderno contém é um recobrimento com restrição de interseção. O enunciado completo cabe em duas linhas.
Proposição 1 — cobertura
Seja S o conjunto {1, …, 25} e B a família dos 840 blocos do catálogo, cada um com 18 elementos. Para todo D ⊂ S com |D| = 15 existe b ∈ B tal que |b ∩ D| ≥ 14.
A verificação percorre os arranjos em ordem lexicográfica e, para cada um, calcula a interseção com os 840 blocos por contagem de bits. Nenhum arranjo ficou abaixo de 14.
Proposição 2 — limite inferior de contagem
Um bloco de 18 elementos cobre no máximo C(18,14)·C(7,1) + C(18,15) = 22.236 arranjos. Logo qualquer família com esta propriedade precisa de pelo menos ⌈3.268.760 ⁄ 22.236⌉ = 148 blocos.
O catálogo usa 840, e portanto não é mínimo. O mínimo exato para estes parâmetros não é conhecido. O que se afirma aqui é que 840 bastam, e isso está verificado; não se afirma que 840 sejam necessários.
Verificação
Os dois testes, e o que cada um mostra
O primeiro teste é exaustivo e decide a proposição. O segundo não acrescenta nada à prova — serve para comparar a frequência prevista com uma frequência observada, que é o teste que um leitor pode refazer com dados públicos.
Teste 1 — enumeração completa
| Interseção máxima com o catálogo | Arranjos | Fração |
|---|---|---|
| 13 ou menos | 0 | 0,0000% |
| Exatamente 14 | 2.618.281 | 80,1001% |
| Exatamente 15 | 650.479 | 19,8999% |
| Total verificado | 3.268.760 | 100,0000% |
Interseção máxima 14: 80,10% Interseção máxima 15: 19,90% Mínima observada: 14 Sem cobertura: 0
Teste 2 — registro público, de 29/09/2003 a 05/10/2026
| Medida | Observado | Previsto |
|---|---|---|
| Registros conferidos | 3.797 | — |
| Interseção máxima 15 | 19,57% | 19,90% |
| Interseção máxima 14 | 80,43% | 80,10% |
| Registros abaixo de 14 | 0 | 0 |
Desvio de 0,33 ponto percentual entre a frequência observada e a prevista, sobre 3.797 registros — compatível com flutuação amostral. A série usada é o histórico público de um sorteio brasileiro de quinze números entre vinte e cinco, de setembro de 2003 a outubro de 2026, sem exclusão de nenhum registro.
Segundo nível
O desdobramento de cada bloco
Dentro de um bloco de dezoito números cabem C(18,15) = 816 subconjuntos de quinze. O caderno traz um desdobramento de apenas 24 deles, escolhido para preservar quase toda a interseção do bloco.
Proposição 3 — desdobramento
Existe um conjunto F de 24 subconjuntos de 15 elementos de um bloco de 18 tal que, se o bloco contém t dos quinze elementos sorteados, algum membro de F contém t − 1 deles, para t = 12, 13, 14 e 15.
Vinte e quatro em lugar de oitocentos e dezesseis, ao preço de um elemento de interseção. É a razão de o caderno caber em vinte e quatro páginas.
Limites
O que o caderno não é
Esta seção é parte do livro, impressa logo depois do capítulo de método, e está aqui pelo mesmo motivo: a propriedade acima é fácil de ler como se fosse outra coisa.
Não há previsão
A proposição 1 descreve o conteúdo da tabela. Ela diz que, qualquer que seja o arranjo, o catálogo já contém um bloco próximo dele. Não diz, e não pode dizer, qual arranjo vai ocorrer.
Nenhum bloco é melhor que outro
- Os 840 blocos são equivalentes. Antes de conhecido o arranjo, nenhum tem vantagem sobre os demais, e o próprio caderno não indica nenhum.
- A cobertura é uma propriedade da família inteira, não de um bloco isolado.
- Sorteios sucessivos são independentes. O catálogo não muda essa independência, e nada no caderno sugere o contrário.
Não há promessa de retorno
- O caderno não contém projeção de ganho, valor esperado positivo, método de recuperação de perda nem qualquer afirmação sobre dinheiro.
- Em qualquer sorteio de números, o valor esperado de uma aposta é negativo, e reorganizar as combinações não altera isso. O caderno reorganiza combinações.
- É um produto de referência e estudo, vendido como livro.
O livro
Como está organizado
- Abertura — o problema enunciado, e como ler a tabela.
- Vinte e quatro páginas de tabela — 35 blocos por página, numerados 01 a 35.
- Método — a construção por cobertura gulosa, o limite inferior de contagem, os dois testes e o desdobramento de 24.
- Uso responsável — página final.
Dentro, depois da capa, há um código QR para o conferidor: a pessoa escolhe um arranjo e o conferidor responde em que página e em que linha está o bloco de maior interseção, junto com os blocos de 11, 12 e 13. É uma consulta à tabela impressa, feita pelo telefone.
- Formato
- 200 × 275 mm
- Páginas de tabela
- 24
- Blocos catalogados
- 840
- Idioma
- Português do Brasil
- Classificação
- Matemática recreativa · Combinatória
- Indicação
- 18 anos ou mais
Onde comprar
O caderno é vendido impresso. A listagem na Amazon.com.br entra no ar com o ISBN registrado na Biblioteca Nacional.
Link da listagem — a inserir
Dúvidas sobre o método, erratas e a verificação completa: pelo canal de contato do vendedor na própria listagem.